Visą straipsnį galima perskaityti čia.

Santrauka. Prieš 23 metus žurnale Alfa plius omega [7] tvirtinau, kad atvirkštinės funkcijos dėstymas ir grafiko braižymas naujame TEV leidyklos vadovėlyje [14] yra klaidingas. Vadovėlio autorių grupės vadovas V. Stakėnas atsakė, kad tai ne klaidingas, bet tradicinis požiūris [15]. Diskusija neišsivystė. Šiame straipsnyje siūlau atskirti funkcijos ir lygties žymenis – funkcija f : x 7→ f(x), o y = f(x) – tik lygtis. Tai gali padėti išspręsti, atrodo, nesutaikomus požiūrius į atvirkštinę funkciją ir jos grafiką. Taip pat vystau idėją, kad funkcijos f grafikas yra ir atvirkštinės funkcijos g grafikas kitoje koordinačių sistemoje.

Raktiniai žodžiai: funkcijos apibrėžimas; funkcijos žymėjimas; funkcijos grafikas; atvirkštinė funkcija; koordinačių sistema

1.  Įvadas 

Mokykloje funkcija apibrėžiama kaip taisyklė, kuri vienos aibės elementams priskiria kitos aibės elementus ir žymima: funkcija y = f(x) (žr. [4, 10 psl.]). Istorija prasidėjo nuo apibrėžimo [14] 132 psl.

Apibrėžimas. Tegu funkcijos y = f(x) apibrėžimo sritis yra aibė X, o reikšmių sritis – aibė Y , be to, ši funkcija skirtingoms x reikšmėms priskiria skirtingas y reikšmes. Taisyklė, kuri kiekvienai reikšmei y ∈ Y priskiria reikšmę x ∈ X, su kuria f(x) = y, vadinama funkcija, atvirkštine funkcijai f(x).

Jei funkcija y = f(x) turi atvirkštinę, tai kintamasis y yra atvirkštinės funkcijos nepriklausomas kintamasis, o x – priklausomas kintamasis, todėl atvirkštinę funkciją galima žymėti taip: x = g(y). „Tačiau kintamuosius galime žymėti ir kitaip, funkcija (reikšmių priskyrimo taisyklė) išliks ta pati.“

Tada sukeičiami vietomis kintamieji x su y ir „abiejų funkcijų y = f(x) ir y = g(x) grafikus galima nubraižyti toje pačioje koordinačių plokštumoje“ (citata iš [14, 132 psl.]). Tie grafikai simetriški tiesės y = x atžvilgiu.

R. Kudžmos didelis priekaištas [7, 8] buvo, kad gerame apibrėžime nėra parašyta pagrindinė atvirkštinės funkcijos sąlyga algebriškai f(g(y)) = y su visais y ∈ Y . Jei ji neparašyta, tai ir nėra tikrinama.

Prieš 20 metų NORMA 2005 konferencijoje islandė K. Bjarnadottir [3] išdėliojo žodį suprasti įvairiomis kalbomis į eilę: skilja – islandiškai (senoviškai) skelti, understand angliškai stovėti šalia, stovėti po, verstehen vokiškai, comprendre prancūziškai paimti kartu, comprehend. Natūralu manyti, kad supratimas yra procesas ir įvairiomis kalbomis žodis suprasti reiškia tam tikrą to proceso fazę. Į žodį skelti pagal prasmę
panašus žodis atskirti.

Daug metų Lietuvoje, ir ne tik, dešimtaine trupmena buvo vadinama 3/10 ir 0, 3. Dešimtainio skaičiaus sąvoka (žr. R. Kudžma [9]) atskyrė šitą sudvejinimą: 3/10 – tai trupmena, jei reikia – dešimtainė trupmena, 0,3 – dešimtainis skaičius. Žinoma, dešimtainio skaičiaus sąvoka yra daug daugiau, nei tik 0,3.

R. Norvaiša [13] daug dėmesio skyrė trupmenų dėstymui. Vadovėliuose du skirtingi apibrėžimai būdavo suveliami į vieną. R. Norvaiša akcentavo tų apibrėžimų atskyrimą. Tą temą vysčiau ir aš (žr. R. Kudžma [11, 12]): dalis, dalys – trečdalis, du trečdaliai vs dalmuo – 2 : 3, sujungia trupmena 2/3.

Lietuviškuose vadovėliuose lygybė y = f(x) suprantama kaip funkcijos apibrėžimas ir kaip lygtis. Natūralu šias sąvokas atskirti. Tai labai gražiai išdėstyta prancūziško 10 klasės vadovėlio [1] Žodynėlio II puslapyje, t.y. pačioje vadovėlio pradžioje.
f : x 7→ f(x) arba f : x 7→ y yra funkcija, kuri (realiajam) x priskiria f(x) arba y.
f(x) yra realiojo x vaizdas.
D(f) yra funkcijos f apibrėžimo sritis.
Cf funkcijos f grafinė reprezentacija ar reprezentacinė kreivė. Tai aibė taškų
su koordinatėmis (x; y), kur x ∈ D(f) ir f(x) = y.
y = f(x) yra kreivės Cf lygtis.

Tirdami funkcijas susiduriame su trijų rūšių objektais: funkcijomis, kreivėmis ir lygtimis.

Pilnas straipsnis publikuotas leidinyje Lietuvos matematikos rinkinys, Lietuvos matematikų draugijos darbai, ser. B 66 tomas, 2025, 1–10

Straipsnį galima perskaityti čia.